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话说考点-数学探究(李新民)  

2017-04-13 08:01:29|  分类: 百科课堂 |  标签: |举报 |字号 订阅

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话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届

 

话说考点(数学探究)

 

那天,无意中浏览了一下校博,发觉《哪道题更难解?(数学探究)》一文失踪了。是否仅从“难易”这个角度来探究欠妥?或者敏感字眼?那么,就以“考点”为话题再作一次探究吧。

图题是一篇刊登在《广州日报.求学指南》的教学短文(下称:“短文”)。短文以一道去年小升初面试的数学题为例,指出了小升初面试的两个考点:1、简便运算2、分数列项求和还作出了要在“分数乘法”单元补充学习的总结。看来是一份尚好的教辅材料,其实不然。

一、“简便运算”是考点吗?

什么是考点?

考点是考试大纲中的一个子集,是学生必须掌握的核心知识点,是教师教学的重点,是公开统一考试命题的依据。它一般指向某学科的一个专题或一个模块。

比如,中考的考点包括:数、式、方程、不等式、函数、平面几何和统计概率,每一项都是一个数学专题。又如,今年高考,数学科略去了“平面几何”,这一选考点,学生就可以不去复习它;物理科中的“动量守恒”由选考点提升为必考点,教师就得修改原来的教学计划,抓住这一重点给学生复习,必要时还得安排授新课的时间。

上述的例子告诉我们,考点是考试的范围。它的边界是很清晰的,属性也很明确。而“简便运算”,既没有边界,也没有属性;只能算是一种“日常用语”;把它指定为考点,既不科学,也不规范。

之所以“简便运算”成不了考点;是因为“简便运算”只是考生在答题过程中提高运算速度的一种手段,也就说,不会“简便运算”的考生,考试肯定输人一截。因为“简便运算”的方法和途径多得很,全靠学生在平时学习中积累和体会;学生没必要也不可能把它作为专题来备考;所以它也就成不了考点了。举些例子,让读者体会一下吧。

比如,某学生在计算“9999×9999=?”时,可以不用笔算,快速地口算得出99980001,是因为他巧妙地运用了乘法分配率把“9999×9999”转换为“9999×(10000-1)=99990000-9999=99980001”

又如,某学生在计算“282-272=?”时“也可以不用笔算,迅速回答是55。是因为他他巧妙地运用了乘法公式,把“282-272分解为“(28-27)(28+27)只要口算27+28即可得到结果。

再如,某学生在解答物理题过程中,化简了一个表达式,代入数据后得到了一个式子:话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届(下称物理算式)。

读者们,在没有计算器的情况下(如高考),你认为那位学生,该如何处理这个式子,才可以迅速地、正确地计算出结果呢?一句话说,必须得简便运算。以下是他的运算过程:

话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届
话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届(分子、分母同乘以10)
话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届(心算分子和分母)
=9            (乘法口诀)

简便运算的例子不胜枚举……

那么,短文中的算式:话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届最简便的运算是什么呢?就是先观察一下各项的分母,归纳出分母的变化规率,然后数一数项数,再把6直接代入公式话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届中的n,即可以口算得到结果:话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届完成此类题的解答,不过是1-2分钟以内的事,而且项数n还可以继续增加。

因此,这道题的简便运算不是运用了“裂项求和”方法,而是数列(注:是数列,而不是分数。)求和公式(在数学手册可以查到)的识记和运用。也就是说,考生会运用公式就胜人一筹,否则就输人一截了。

总之,“简便运算”涉及了数学方方面面的问题,不属于专题或模块,自然也就成不了考点了。

二、“分数裂项求和”是什么?

众所周知,分数是小学生结业考试的一个考点。它包括了分数的慨念和基本性质;分数的四则运算和分数的应用;却没有提及“分数裂项求和”。

为什么呢?因为:

1、分数是为了满足在整数范围内除法运算不能完整进行的前提下产生的;是对数的一次扩充。比如,“4÷2=2”商属于整数;但因为“2÷3”不能整除,于是把分数话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届作为商。

2、数的每次扩充,都必需定义一组运算:加减、乘除、乘方开方。当前数已经扩充到了复数,它也仅仅定义了上述的三级运算。在小学阶段,学生只学习四则运算,当然也包括四则混合运算,类似上述的“物理算式”。因此,在分数范围内不存在“裂项”运算。短文的作者硬要把“裂项”强加给分数,是毫无依据的。

那么,“列项求和”是什么呢?

“裂项”是数列求和的方法之一,在《高一数学.必修4》中有介绍。“数列”是高考的一个考点,它包括了“数列求和”。但是,不指定“裂项求和”为考点。因为,如果把解题方法都指定了;那么,会误导学生复习时刷题偏题;也可能导致命题者蒙受漏题的嫌疑;所以,“裂项求和”不能视为考点。

其实,“数列求和”是高中数学的一个专题。要掌握它,得先从认识数列开始,然后才谈得上求和。绝不能把数列的概念与数的概念混为一谈;就像短文的作者那样,硬把分数形式的数列说成是分数。

数列扩展于函数(函数在《高一数学.必修1》中介绍)。因此,数列可以看成是以自然数N为自变量的函数值序列。例如,短文中的试题给出的和式,把加号去掉,就得到一个数值序列:话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届只要给定一个自然数n,代入通项公式话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届就可以确定某一项的值。正因为数列是函数值序列,所以要求数列的和,只有先归纳出数列中各项满足的对应规律,然后才能考虑求和的方法。也就是说,对应规律决定了数列的求和方法。下面以短文中给出的分数形式的数列为基础,举几个例子让读者体会一下:

[例1]话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届它的对应规律是公差为1/3的等差数列,它的n项和话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届由类“梯形面积”公式求得。

[例2]话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届它的对应规律是公比为1/3的等比数列,它的n项和话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届采用了“先各项乘以公比,再错项相减”的方法求得。

[例3]话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届它的对应规律是分母为平方差,它的n项和话说考点-数学探究(李新民) - 广东实验学校 - 省实老三届虽然在推导求和公式过程运用了列项方法,但是裂项后与短文中试题的处理过程也大不相同。有兴趣的读者不妨尝试推导推导。

以上几个例子告诉我们,虽然题目的形式相似(如分数形式的数列),但对应规律不一样,其求和方法差异很大。短文的作者硬把“裂项求和”说成考点,除了误导学生去刷题备考,是解决不了“数列求和”这类问题的。所以,有意应试小升初的学生,如果想在“数列求和”这个考点上有所突破;那么,在课外拓展的不是分数乘法,而是认真学习学习“数列”这个专题。

话说至此,我们可以明确两点:1、“裂项”不属于分数运算;2、“裂项求和”不可以视为考点。那么,“分数裂项求和”是什么呢?那就留给读者去探究吧……。

总之,考点的指定是很严格的,有它的科学性和规范性;既不可以泛指,也不可以特指。

 

                   ()  李新民

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